背理法とは？無理数の問題例と証明を徹底解説

\( 2x+1 \)が無理数でないと仮定する。

このとき、\( 2x+1 \)は有理数であるから、\( r \)を有理数として、\( 2x+1 = r \)とおくと

\[ \begin{align}
2x+1 & = r \\
\\
2x & = r-1 \\
\\
x & = \frac{r-1}{2} \cdots ①
\end{align} \]

\( r-1 \)は有理数だから、①の右辺も有理数である。

よって、①から\( x \)は有理数となり、\( x \)が無理数であることに矛盾する。

したがって、\( 2x+1 \)は無理数である。

有理数と無理数の和が無理数でないと仮定する。

このとき、有理数と無理数の和は有理数である。

\( a,b \)を有理数、\( \alpha \)を無理数とすると、

\[ \begin{align}
a + \alpha & = b \\
\\
\alpha & = b-a \cdots ①
\end{align} \]

①の左辺は無理数、右辺は有理数となり、矛盾する。

したがって、有理数と無理数の和は無理数である。

\( \sqrt{3} \) を無理数でないと仮定する。

このとき、\( \sqrt{3} \)は有理数であり、互いに素な自然数 \( a,b \) を用いて

\[ \sqrt{3} = \frac{a}{b} \]

と表される。

このとき、\( a = \sqrt{3}b \)

両辺を2乗して、\( a^2 = 3b^2 \cdots ①\)

よって、\( a^2 \)は3の倍数であるから、\( a \)も3の倍数である。

ゆえに、\( c \)を自然数として、\( a = 3c \) と表される。

\( a = 3c \) を①に代入して、\( 9c^2 = 3b^2 \)

すなわち、\( b^2 = 3c^2 \)

よって、\( b^2 \) は3の倍数であるから、\( b \)も3の倍数である。

したがって、\( a \) と \( b \) は公約数3をもつことになる。

これは、\( a \) と \( b \) が互いに素であることに矛盾する。

よって、\( \sqrt{3} \) は無理数である。

\( \sqrt{5} + \sqrt{7} \) は無理数でないと仮定する。

このとき、\( \sqrt{5} + \sqrt{7} \) は有理数であるから、\( r \)を有理数として、\( \sqrt{5} + \sqrt{7} = r \) とおくと、

\( \sqrt{5} = r- \sqrt{7} \)

両辺を2乗して　\( 5 = r^2-2\sqrt{7}r+7 \)

ゆえに　\( 2\sqrt{7}r = r^2+2 \)

\[ r \neq 0 \ なので \ \sqrt{7} = \frac{r^2+2}{2r} \cdots ① \]

\( r^2+2, \ 2r \) は有理数であるから、①の右辺も有理数である。

よって、①から\( \sqrt{7} \) は有理数となり、\( \sqrt{7} \) が無理数であることに矛盾する。

したがって、\( \sqrt{5} + \sqrt{7} \) は無理数である。

\( b \neq 0 \)と仮定する。

\[ a+b\sqrt{2}=0 より \sqrt{2} = -\frac{a}{b} \cdots ① \]

\( a,b \)は有理数だから、①の左辺は無理数、右辺は有理数となり、矛盾する。

よって、\( b=0 \) である。

\( a+b\sqrt{2}=0 \) に \( b=0 \) を代入すると、

\( a + 0 \cdot \sqrt{2} = 0 \) より \( a=0 \)

したがって、\( a,b \)が有理数のとき、

\( a+b\sqrt{2}=0 \) ならば \( a=b=0 \)である。