高校物理の公式まとめ【力学編】

加速度 \( a \)、速さ \( v \)、距離 \( x \)、\( t=0 \) のとき \( v=v_0 \)、\( x=x_0 \) とするとき、

\( \displaystyle 加速度：a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^{2}x}{dt^2} \)

\( \displaystyle 速さ：v = \int a \,dt = at+v_0 \)

\(距離(変位)：x=\displaystyle\int v d t=\displaystyle\int\left(v_{0}+a t\right) d t= \frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+x_0 \)

時刻 \( t=0 \) で、\( v=0 \)、\( x=0 \)、また、加速度は \( a \)（定数）であるとき、

\[ 速さ：v = \int a \, dt = at \]

\[ 距離（変位）：x = \displaystyle\int v d t = \frac{1}{2}at^2 \]

　　距離と速度の関係式：
\[ \ \ \ \ \ \ \ {v_2}^{2}-{v_1}^{2} = 2a(x_{2}-x_{1}) \]

射点を原点に取り、初速\( v_{0} \)で\( x \)軸とのなす角が \(θ \) の方向に質量\( m \)の小球を投げ上げて、小球が\(x=x_1\)で再び地面に戻るとする。

このとき速度と変位について以下の関係が成り立ちます。

\( \begin{cases}
\displaystyle v_{x}=v_{0}\cos\theta\\
\displaystyle v_{y}=v_{0}\sin\theta-gt 
\end{cases} \)

\( \begin{cases}
\displaystyle x=v_0\cos\theta・t\\
\displaystyle y=v_0\sin\theta・t-\frac{1}{2}gt^2
\end{cases} \)

軌道の式：\(y=\left(\tan\theta \right)x-{\frac{g}{(2v_0)^2\cos^2\theta}}x^2\)

再び地面につくのは、

\( \displaystyle x_1=\frac{2(v_0)^2\sin\theta\cos\theta}{g}=\frac{(v_0)^2\sin2\theta}{g} \)

これは\(\theta=\displaystyle\frac{π}{4}\)のときに最大値を取ります。

静止摩擦力：\(F<μN\)　(\(μ\)は静止摩擦係数)
　　　　　　\(F=μN\)となったときに滑り出す。

動摩擦力：\(F=μ’N\)　(\(μ’\)は動摩擦係数)

ただし、一般的に\(μ>μ’\)

ばねの復元力の大きさ：\(|F|=kx\)

ばねの弾性エネルギー：\(E=\displaystyle \frac{1}{2}kx^2 \)

直列につないだ場合の合成ばね定数：\(K=\frac{k_1k_2}{k_1+k_2}\)

並列につないだ場合の合成ばね定数：\(K=k_1+k_2\)

二つのばねに挟まれた場合の合成ばね定数：\(K=k_1+k_2\)

ただし、\(x\)は、ばねの自然長からの変位を、\(k_1\)、\(k_2\)はそれぞればね定数表す。

深さ\(h\)における水圧：\(P=P_0+ρgh\)

浮力の大きさ：\(F=ρVg\)

アルキメデスの原理： 流体中の物体は、その物体が押しのけている流体の重さ（重量）と同じ大きさで上向きの浮力を受ける。

ただし\(P_0\)は大気圧、\(ρ\)は液体の密度、\(V\)は液体中の体積、\(g\)は重力加速度を表します。

質量\(m[kg]\)物体が速さ\(v[m/s]\)で働いているときの、運動エネルギー\(K\)：\(K=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2\)

仕事とエネルギーの関係：\(\displaystyle\frac{1}{2}mv_{2}^2-\displaystyle\frac{1}{2}mv_{1}^2=\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}F dx\)

エネルギー保存則：運動エネルギーと位置エネルギーの和は常に等しい

保存力（外力）の仕事とエネルギーの関係： \(\displaystyle\int_{r_0}^{r} F_{外}dr=-\displaystyle\int_{r_0}^{r}Fdr=U(r)\)

地表付近の重力による位置エネルギー：\(U=mgh\)
\(m\)：物体の質量、\(g\)：重力加速度、\(h\)：基準からの変位

質点間の万有引力による位置エネルギー：\(U=-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\)
\(G\)：万有引力定数、\(M\),\(m\)：各質点の質量、\(r\)：質点間距離
ただし無限遠を基準としている

ばねの弾性力による位置エネルギー：\(U=\displaystyle\frac{1}{2}kx^2\)
\(k\)：ばね定数、\(x\)：自然長からの変位

点電荷間のクーロン力による位置エネルギー：\(U=k\displaystyle\frac{Qq}{r}\)
\(k\)：比例定数(\(=\displaystyle\frac{1}{4πε_0}\))、\(Q\),\(q\)：電荷、\(r\)：点同士の距離
ただし無限遠を基準としている

エネルギー保存則：運動エネルギーと位置エネルギーの和は等しい

質量\(m\)[kg]の物体が、速度\(\vec{v}\)[m/s]で運動しているときの運動量\(\vec{p}\)：\(\vec{p}=m\vec{v}\)

力積と運動量変化の関係：\(m\vec{v_{1}}-m\vec{v_{2}}=\int_{t_1}^{t_2} \vec{F}dt\)

運動量保存則：\(m_1\vec{v_1}+m_2\vec{v_2}+\cdots=定数\)

衝突と反発係数の関係：「衝突後の（相対）速度」＝ー「反発係数」×「衝突前の（相対）速度」

位置：極座標系で考える。中心角\(\theta\)を変数に用いるのが普通。

速度：速度は接線成分のみ。各速度\(\omega=\displaystyle\frac{d \theta}{dt}\)は速度\(v\)と一対一対応する。

加速度：中心（向心）方向と接線方向に分解できて、

\[
\begin{cases}
接線方向：a_接=\displaystyle\frac{dv}{dt}=r\displaystyle\frac{d \omega}{dt}=r\displaystyle\frac{d^2 \theta}{dt^2}\\
中心方向：a_心= \displaystyle\frac{v^2}{r}=r \omega^2
\end{cases}
\]

と表記可能。

運動方程式：接線方向と中心（向心）方向にわけて書く。とくに\(F_接=0\)のとき等速円運動。

遠心力：回転座標系を考えたときに、向心力とは逆向きに同じ大きさで働く力のこと。

運動方程式：\(\displaystyle\frac{d^2 x}{dt^2}=-\omega^2(x-x_0)
\)

変位：\(X=x-x_0=A\sin(\omega t+\alpha)\)

速度：\(v=\displaystyle\frac{dV}{dt}=A\omega\cos(\omega t+\alpha)\)

加速度：\(a=\displaystyle\frac{dv}{dt}=-A\omega^2 \sin(\omega t+\alpha)=-\omega^2 X\)

周期：\(T=\displaystyle\frac{2π}{\omega}\)

エネルギー保存則：\(\displaystyle\frac{1}{2}mv^2+\displaystyle\frac{1}{2}k(x-x_0)^2=[定数]\)

エネルギー保存則には、「自然長を基準にとるか」「振動中心を基準にとるか」の２通りの表現方法があることにも注意！

単振り子の運動方程式：\(ml\displaystyle\frac{d^2 \theta}{dt^2}=-mg\sin\theta\)

振動周期：\(T=\displaystyle\frac{2π}{\omega}=2π\displaystyle\frac{l}{g}\)

等時性：振り子の周期は糸の長さのみに依存する。

万有引力の大きさ：\(F=G\displaystyle\frac{Mm}{r^2}\)

関係式：\(g=\displaystyle\frac{GM}{R^2}\)

位置エネルギー：\(U=-G\displaystyle\frac{Mm}{r}\)

第一宇宙速度：\(v_1=\sqrt{\displaystyle\frac{GM}{R}}\)

第二宇宙速度：\(v_2=\sqrt{\displaystyle\frac{2GM}{R}}\)

第三宇宙速度：\(v_3=\sqrt{\displaystyle\frac{2GM}{R}+(\sqrt{2}-1)^2\displaystyle\frac{GM_S}{R_E}}\)

第一法則

惑星は太陽を焦点の一つとする楕円軌道を描く。（楕円軌道の法則）

第二法則

惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間内に通過する面積は、楕円軌道上の場所に寄らず一定である。（面積速度一定の法則）

\[\frac{1}{2}rv\sin\theta=const.\]

第三法則

惑星の公転周期の二乗は、軌道長半径（太陽と惑星の間の半長軸）の三乗に比例する。（調和の法則）

\( \displaystyle \frac{T^2}{r^3} = \frac{4π^2}{GM}=const. \)