東大塾長の山田です。
このページでは、「三角関数の公式（性質）」をすべてまとめています。
ぜひ勉強の参考にしてください！
※ 公式の証明や覚え方・導き方は各関連記事で解説しているので、そちらもぜひチェックしてください。
1. 三角関数の相互関係
\( \sin \theta, \ \cos \theta, \ \tan \theta \) のうち1つでも値がわかれば、次の3つの関係式から残りの2つの値を求めることができます。
2. 三角関数の性質（変換公式）
2.1 \( \theta + 2n \pi \) の三角関数
\( n \) を整数とするとき、角 \( \theta + 2n \pi \) の動径は角 \( \theta \) の動径と同じ位置にあるから、次の公式が成り立つ。
・\( \color{red}{ \sin ( \theta + 2n \pi ) = \sin \theta } \)
・\( \color{red}{ \cos ( \theta + 2n \pi ) = \cos \theta } \)
・\( \color{red}{ \tan ( \theta + 2n \pi ) = \tan \theta } \)
2.2 \( – \theta \) の三角関数
・\( \color{red}{ \sin ( – \theta ) = \ – \sin \theta } \)
・\( \color{red}{ \cos ( – \theta ) = \cos \theta } \)
・\( \color{red}{ \tan ( – \theta ) = \ – \tan \theta } \)
2.3 \( \displaystyle \theta + \frac{\pi}{2} \) の三角関数
・\( \displaystyle \color{red}{ \sin \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) = \cos \theta } \)
・\( \displaystyle \color{red}{ \cos \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) = \ – \sin \theta } \)
・\( \displaystyle \color{red}{ \tan \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) = \ – \frac{1}{\tan \theta } } \)
2.4 \( \displaystyle \theta + \pi \) の三角関数
・\( \displaystyle \color{red}{ \sin (\theta + \pi ) = \ – \sin \theta } \)
・\( \displaystyle \color{red}{ \cos (\theta + \pi ) = \ – \cos \theta } \)
・\( \displaystyle \color{red}{ \tan (\theta + \pi ) = \tan \theta } \)
2.5 \( \displaystyle \frac{\pi}{2} \ – \theta \) の三角関数
・\( \displaystyle \color{red}{ \sin \left( \frac{\pi}{2} \ – \theta \right) = \cos \theta } \)
・\( \displaystyle \color{red}{ \cos \left( \frac{\pi}{2} \ – \theta \right) = \sin \theta } \)
・\( \displaystyle \color{red}{ \tan \left( \frac{\pi}{2} \ – \theta \right) = \frac{1}{\tan \theta} } \)
2.6 \( \displaystyle \pi \ – \theta \) の三角関数
・\( \displaystyle \color{red}{ \sin (\pi \ – \theta) = \sin \theta } \)
・\( \displaystyle \color{red}{ \cos (\pi \ – \theta) = \ – \cos \theta } \)
・\( \displaystyle \color{red}{ \tan (\pi \ – \theta) = \ – \tan \theta } \)
3. 加法定理と応用
3.1 加法定理
【正弦の加法定理】
・\( \color{red}{ \sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta } \)
・\( \color{red}{ \sin (\alpha – \beta) = \sin \alpha \cos \beta – \cos \alpha \sin \beta } \)
【余弦の加法定理】
・\( \color{red}{ \cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta } \)
・\( \color{red}{ \cos (\alpha – \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta } \)
【正接の加法定理】
・\( \color{red}{ \displaystyle \tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta }{1 – \tan \alpha \tan \beta} } \)
・\( \color{red}{ \displaystyle \tan (\alpha – \beta) = \frac{\tan \alpha – \tan \beta }{1 + \tan \alpha \tan \beta} } \)
3.2 2倍角の公式
- \( \color{red}{ \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha } \)
- \( \color{red}{ \begin{align}
\cos 2 \alpha & = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha \\
& = 2 \cos^2 \alpha – 1 \\
& = 1 – 2 \sin^2 \alpha
\end{align} } \) - \( \color{red}{ \displaystyle \tan 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 – \tan^2 \alpha} } \)
\( \cos 2 \alpha \) の公式「\( \cos 2 \alpha = 1 – 2 \sin^2 \alpha \)」を \( \sin^2 \alpha \) について ，「\( \cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha – 1 \)」を \( \cos^2 \alpha \) について，それぞれ解くと得られる式
・\( \displaystyle \color{red}{ \sin^2 \alpha = \frac{1 – \cos 2 \alpha}{2} } \)
・\( \displaystyle \color{red}{ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2 \alpha}{2} } \)
を使うこともよくあります（次数下げや積分をするときに便利）。
3.3 半角の公式
・\( \displaystyle \color{red}{ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{2} } \)
・\( \displaystyle \color{red}{ \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} } \)
・\( \displaystyle \color{red}{ \tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 – \cos \alpha}{1 + \cos \alpha } } \)
3.4 3倍角の公式
・\( \color{red}{ \sin 3 \alpha = 3 \sin \alpha – 4 \sin^3 \alpha } \)
・\( \color{red}{ \cos 3 \alpha = -3 \cos \alpha + 4 \cos^3 \alpha } \)
3.5 和積の公式
3.5.1 積→和の公式
\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha – \beta) \right\} } \)
\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos \alpha \sin \beta= \frac{1}{2} \left\{ \sin (\alpha + \beta) – \sin (\alpha – \beta) \right\} } \)
\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos \alpha \cos \beta= \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha – \beta) \right\} } \)
\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin \alpha \sin \beta= – \frac{1}{2} \left\{ \cos (\alpha + \beta) – \cos (\alpha – \beta) \right\} } \)
3.5.2 和→積の公式
\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} } \)
\( \displaystyle ・ \color{red}{ \sin A – \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} } \)
\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} } \)
\( \displaystyle ・ \color{red}{ \cos A – \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2} } \)
4. 三角関数の合成公式
4.1 三角関数の合成公式（sin）
\( \displaystyle \color{red}{ a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin ( \theta + \alpha ) } \)
ただし，\( \alpha \) は \( \displaystyle \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \ \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) を満たす角度。
4.2 三角関数の合成公式（cos）
\( \displaystyle \color{red}{ a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos ( \theta \ – \beta ) } \)
ただし，\( \beta \) は \( \displaystyle \sin \beta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \ \cos \beta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) を満たす角度。
・\( \displaystyle \color{red}{ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} } \)
・\( \displaystyle \color{red}{ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 } \)
・\( \displaystyle \color{red}{ 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} } \)